Признаки равенства прямоугольных треугольников. Доказательство одного из них Второй признак равенства прямоугольных треугольников
Билет № 14
Многоугольник. Элементы многоугольника. Виды многоугольников. Сумма углов выпуклого многоугольника.
Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков АВ, ВС, CD, ..., EF, FA так, что смежные отрезки (т. е. отрезки АВ и ВС, ВС и CD, ..., FA и АВ) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек. Такая фигура называется многоугольником. Точки А, В, С, ..., Е, F называются вершинами, а отрезки АВ, ВС, CD, ..., EF, FA- сторонами многоугольника.
Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника.
Многоугольник с п вершинами называется п -угольником.
Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая - внешней областью многоугольника.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. (Многоугольник ABCD – выпуклый, остальные не выпуклые)
Сумма углов выпуклого п -угольника равна (п -2) 180°.
Следствия: 1)Сумма углов любого треугольника равна 180 0
2) Сумма углов любого четырехугольника равна 360 0
Доказать одно из свойств параллелограмма.
1°. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2°. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Теорема Пифагора.
Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Справедлива теорема, обратная теореме Пифагора
Теорема : Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
С помощью этой теоремы, зная стороны треугольника, можно определять, является ли он прямоугольным
2. Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса 30 0 , 45 0 , 60 0 .
Определение : Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Определение : Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Определение : Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
| 30 0 | 45 0 | 60 0 | |
| Sin A | |||
| Cos A | |||
| Tg A |
Билет № 17
Билет № 18
теорема: Если 3 стороны одного треугольника пропорциональны 3 сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Билет № 14
Признаки равенства прямоугольных треугольников. Доказательство одного из них.
Существует четыре признака равенства прямоугольных треугольников:
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. (АС=А 1 С 1 , ВС=В 1 С 1)
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. (например, АС=А 1 С 1 , ÐА=ÐА 1)
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. (например, АВ= A 1 B 1 , ÐА=ÐА 1)
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. (например, АВ= A 1 B 1 , АС=А 1 С 1)
Докажем признак по гипотенузе и острому углу.
Вспомним из материала предыдущего урока, прямоугольный треугольником называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (т. е. равен 90 о).
Рассмотрим первый признак равенства треугольников: если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Проиллюстрируем данный случай:
Рис. 1. Равные прямоугольные треугольники
Доказательство :
Вспомним о первом равенстве произвольных треугольников.
Рис. 2
Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:
Аналогичное доказательство следует и для прямоугольных треугольников:
Треугольники равны по первому признаку.
Рассмотрим второй признак равенства прямоугольных треугольников. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 3
Доказательство :
Рис. 4
Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников:
Аналогичное доказательство и для прямоугольных треугольников:
Треугольники равны по второму признаку.
Рассмотрим третий признак равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и прилежащий к ней угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство :
Рис. 5
Вспомним второй признак равенства треугольников:
Рис. 6
Данные треугольники равны, если:
Поскольку известно, что одна пара острых углов у прямоугольных треугольников равна (∠А = ∠А 1), то равенство другой пары углов (∠B = ∠B 1) доказывается следующим образом:
Поскольку АВ = А 1 В 1 (по условию), ∠В = ∠В 1 , ∠А = ∠А 1 . Поэтому треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по второму признаку.
Рассмотрим следующий признак равенства треугольников:
Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника, такие прямоугольные треугольники равны.
Рис. 7
Доказательство :
Совместим наложением треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 . Предположим, что вершины А и А 1 , а также С и С 1 совместились наложением, а вершина В и точка В 1 не совпадают. Именно этот случай указан на следующем рисунке:
Рис. 8
В данном случае мы можем заметить равнобедренный треугольник АВВ 1 (по определению - по условию АВ = АВ 1). Поэтому по свойству, ∠АВ 1 В = ∠АВВ 1 . Рассмотрим определение внешнего угла. Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, несмежных с ним. На рисунке указано данное соотношение:
Рис. 9
Угол 5 является внешним углом треугольника и равен ∠5 = ∠1 + ∠2. Отсюда следует, что внешний угол больше каждого из углов, несмежных с ним.
Таким образом, ∠АВВ 1 является внешним углом для треугольника АВС и равен сумме ∠АВВ 1 = ∠САВ + ∠АСВ = ∠АВС = ∠САВ + 90 о. Таким образом, ∠АВ 1 В (что является острым углом в прямоугольном треугольнике АВВ 1) не может быть равен углу ∠АВВ 1 , ведь данный угол - тупой по доказанному.
Значит наше предположение касательно расположения точек В и В 1 оказалось неверным, следовательно данные точки совпадают. А значит треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 совместились наложением. Поэтому они равны (по определению).
Таким образом, данные признаки вводятся не зря, ведь их можно использовать при решении некоторых задач.
- Омский государственный университет ().
- Справочный портал calc.ru ().
- Учительский портал ().
1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть.
3. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть. Учитывайте, что АС = АF.
4. В прямоугольном треугольнике к гипотенузе проведены медиана и высота. Угол между ними равен 20 о. Определите величину каждого из острых углов данного прямоугольного треугольника.
Прямоугольные треугольники наравне с равнобедренными и равносторонними занимает свое место среди треугольников, обладая особым набором специфичных свойств, характерных только для этого вида треугольников. Рассмотрим несколько теорем о равенстве прямоугольных треугольников, которые существенно упростят решение некоторых задач.
Первый признак равенства прямоугольных треугольников
Признаки равенства прямоугольных треугольников проистекают из трех признаков равенства треугольников, но прямой угол искажает их, расширяет при этом делая проще. Любой из признаков равенства прямоугольных треугольников можно заменить одним из трех основных, но это будет занимать слишком много времени, поэтому были выделены 5 свойств и признаков равенства прямоугольных треугольников.
Очень часто вместо использования основных признаков равенства треугольников, используется метод наложения, когда две фигуры мысленно накладываются одна на другую. Нельзя сказать, что это верно или неверно. Просто еще один способ доказательства, который стоит учитывать. Но нельзя думать, что любой признак можно доказать обычным наложением. Именно поэтому рассмотрим доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников через три основных признака равенства треугольников.
Первый признак равенства прямоугольных треугольников гласит: два прямоугольных треугольника равны, если два катета одного треугольника равны двум катетам другого треугольника. Коротко этот признак называют равенством по двум катетам.
Рис. 1. Равенство по двум катетам
Доказать этот признак очень просто. Дано: два катета прямоугольных треугольника равны. Между катетами находится прямой угол, который равен 90 градусам, а значит и угол у треугольников совпадает. Следовательно, два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними.
Второй признак
Второй признак читается так: два прямоугольных треугольника равны, если катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему углу другого треугольника.
Второй признак доказывается исходя из того же утверждения о равенстве прямых углов между собой. Если у треугольников катеты равны, острые углы при них равны, а прямые углы равны по определению, то такие треугольники равны по второму признаку равенства (стороне и двум, прилежащим к ней углам).
Третий признак
Два прямоугольных треугольника равны, если равен катет и противолежащий острый угол.
Рис. 2. Рисунок к доказательству
Сумма острых углов в треугольнике равна 90 градусов. Обозначим углы малыми латинскими буквами для простоты доказательства. Один угол прямой, а два других обозначим буквами a и b в первом треугольнике; c и d во втором треугольнике.
Углы a и d равны между собой по условию задачи.
Вычтем из обеих сторон выражения угол a
То есть, если в двух прямоугольных треугольника два острых углы равны между собой, то и два других острых угла, также будут равны, и мы можем воспользоваться вторым признаком.
Во втором и третьем признаке нужно особенно акцентировать внимание на остром угле, так как прямые углы всегда равны между собой.
Четвертый признак
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Как было сказано в предыдущем признаке: если острый угол прямоугольного треугольника равен соответствующему острому углу другого прямоугольного треугольника, то и другая пара острых углов треугольников будет равна между собой.
Значит, по условиям этого признака мы имеем равенство гипотенузы и двух острых углов треугольников, а значит такие треугольники будут равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (2 признак равенства треугольников)
Пятый признак
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и катет у двух треугольников соответственно равны, то и вторые катеты таких треугольников буду равны между собой. Это проистекает из теоремы Пифагора.
Рис. 3. Равенство по катету и гипотенузе
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенузы равны между собой, катет одного треугольника равен квадрату другого треугольника, значит, чтобы сумма оставалась верной, и два других катета будут равны между собой.
Что мы узнали?
Мы рассмотрели доказательство пяти признаков равенства треугольников через основные признаки равенства треугольников. Разобрались, почему такое доказательство предпочтительнее наложения и определили путь доказательства, который позволит в любой момент восстановить основные понятия темы в памяти, без излишнего заучивания.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.6 . Всего получено оценок: 100.
Вспомним из материала предыдущего урока, прямоугольный треугольником называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (т. е. равен 90 о).
Рассмотрим первый признак равенства треугольников: если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Проиллюстрируем данный случай:
Рис. 1. Равные прямоугольные треугольники
Доказательство :
Вспомним о первом равенстве произвольных треугольников.
Рис. 2
Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:
Аналогичное доказательство следует и для прямоугольных треугольников:
Треугольники равны по первому признаку.
Рассмотрим второй признак равенства прямоугольных треугольников. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 3
Доказательство :
Рис. 4
Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников:
Аналогичное доказательство и для прямоугольных треугольников:
Треугольники равны по второму признаку.
Рассмотрим третий признак равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и прилежащий к ней угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство :
Рис. 5
Вспомним второй признак равенства треугольников:
Рис. 6
Данные треугольники равны, если:
Поскольку известно, что одна пара острых углов у прямоугольных треугольников равна (∠А = ∠А 1), то равенство другой пары углов (∠B = ∠B 1) доказывается следующим образом:
Поскольку АВ = А 1 В 1 (по условию), ∠В = ∠В 1 , ∠А = ∠А 1 . Поэтому треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по второму признаку.
Рассмотрим следующий признак равенства треугольников:
Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника, такие прямоугольные треугольники равны.
Рис. 7
Доказательство :
Совместим наложением треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 . Предположим, что вершины А и А 1 , а также С и С 1 совместились наложением, а вершина В и точка В 1 не совпадают. Именно этот случай указан на следующем рисунке:
Рис. 8
В данном случае мы можем заметить равнобедренный треугольник АВВ 1 (по определению - по условию АВ = АВ 1). Поэтому по свойству, ∠АВ 1 В = ∠АВВ 1 . Рассмотрим определение внешнего угла. Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, несмежных с ним. На рисунке указано данное соотношение:
Рис. 9
Угол 5 является внешним углом треугольника и равен ∠5 = ∠1 + ∠2. Отсюда следует, что внешний угол больше каждого из углов, несмежных с ним.
Таким образом, ∠АВВ 1 является внешним углом для треугольника АВС и равен сумме ∠АВВ 1 = ∠САВ + ∠АСВ = ∠АВС = ∠САВ + 90 о. Таким образом, ∠АВ 1 В (что является острым углом в прямоугольном треугольнике АВВ 1) не может быть равен углу ∠АВВ 1 , ведь данный угол - тупой по доказанному.
Значит наше предположение касательно расположения точек В и В 1 оказалось неверным, следовательно данные точки совпадают. А значит треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 совместились наложением. Поэтому они равны (по определению).
Таким образом, данные признаки вводятся не зря, ведь их можно использовать при решении некоторых задач.
- Омский государственный университет ().
- Справочный портал calc.ru ().
- Учительский портал ().
1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть.
3. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть. Учитывайте, что АС = АF.
4. В прямоугольном треугольнике к гипотенузе проведены медиана и высота. Угол между ними равен 20 о. Определите величину каждого из острых углов данного прямоугольного треугольника.