Задание функции при помощи вектора истинности. Векторная функция скалярного аргумента Задание с помощью полного бинарного дерева

Пусть множество значений вектор-функции скалярного аргумента приведено к общему началу в точке 0. Совместим с этой точкой начало декартовой системы координат. Тогда для любого вектор может быть разложен по ортам

Таким образом, задание вектор-функции скалярного аргумента означает задание трех скалярных функций При изменении значения аргумента конец вектора будет описывать в пространстве кривую, которая называется годографом вектора

Пусть для существует близкое значение Тогда производной вектор-функции поскалярному аргументу называется

№17 Скорость и ускорение точки в криволинейном движении

Скорость

Скорость, вводится как характеристика движения материальной точки. Скорость является векторной величиной, которая характеризуется как быстротой движения (модуль вектора скорости), так и его направление (направление вектора скорости) в данный момент времени. Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории, при этом в момент времени t ей соответствует радиус-вектор r0 (рис. 1). За малый отрезок времени Δt точка совершит путь Δs и при этом получит элементарное (бесконечно малое) перемещение Δr.

Вектором средней скорости называется отношение приращения Δr радиуса-вектора точки к промежутку времени Δt:

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением Δr. При бесконечном уменьшении Δt средняя скорость стремится к значению, которое называется мгновенной скоростью v:

Значит, мгновенная скорость v есть векторная величина, которая равна первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Т.к. в пределе секущая совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 2).

Рис.2

При уменьшении Δt, Δs все сильнее будет приближаться к |Δr|, поэтому модуль мгновенной скорости

Значит, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

При неравномерном движении модуль мгновенной скорости различен в разные моменты времени. В этом случае применяют скалярную величину - среднюю скорость неравномерного движения:

Если проинтегрировать по времени в пределах от t до t+Δt выражение ds=vdt (см. формулу (2)), то найдем длину пути, пройденного точкой за время Δt:

В случае равномерного движения числовое значение мгновенной скорости постоянно; Toгда выражение (3) примет вид

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t1 до t2, задается интегралом

УСКОРЕНИЕ

При неравномерном движения частно необходимо знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, называется ускорение. Рассмотрим плоское движение - движение, при котором траектории каждой точки рассматриваемой системы лежат в одной плоскости. Пусть вектор v есть скорость точки А в момент времени t. За время Δt точка перешла в положение В и получила скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную v1+Δv. Перенесем вектор v1 в точку А и найдем Δv (рис. 1).

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t+Δt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Δv к интервалу времени Δt:

Мгновенным ускорением а (ускорением) материальной точки в момент времени t будет векторная величина:

равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор Δv на две составляющие. Для этого из точки А (рис. 1) по направлению скорости v отложим вектор AD, по модулю равный v1. Очевидно, что вектор CD, равный Δvτ, определяет изменение скорости за время Δt по модулю: Δvτ=v1-v. Вторая же составляющая Δvn вектора Δv характеризует изменение скорости за время Δt по направлению.

Тангенциальная составляющая ускорения:

т. е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Ищем вторую составляющую ускорения. Допускаем, что точка В сильно близка к точке А, поэтому Δs можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, слабо отличающейся от хорды АВ. Треугольников АОВ подобен треугольнику EAD, из чего следует Δvn/AB=v1/r, но так как AB=vΔt, то

В пределе при Δt→0 получим v1→v.

Т.к. v1→v, угол EAD стремится к нулю, а т.к. треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между v и Δvn стремится к прямому. Следовательно, при Δt→0 векторы Δvn и v становятся взаимно перпендикулярными. Т.к. вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор Δvn, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру кривизны траектории точки. Вторая составляющая ускорения, равная

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по прямой перпендикулярной касательной к траектории (называемой нормалью) к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис. 2):

Значит тангенциальная составляющая ускорения является характеристикой быстроты изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения - характеристикой быстроты изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории). В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

1)aτ=0, an=0 - прямолинейное равномерное движение;

2)aτ=an=const, аn=0 - прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

Если начальный момент времени t1 = 0, а начальная скорость v1 = v0, то, обозначив t2=t и v2 = v, получим a=(v-v0)/t, откуда

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения

3)aτ=f(t), an=0 - прямолинейное движение с переменным ускорением;

4)aτ=0, an=const. При aτ=0 скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы an=v2/r следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;равномерное криволинейное движение;

5)aτ=0, an≠0 равномерное криволинейное движение;

6)aτ=const, an≠0 - криволинейное равнопеременное движение;

7)aτ=f(t), an≠0 - криволинейное движение с переменным ускорением.

№18 Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Определение. Пусть на области D задана функция двух переменных z =f(х,у), M0(x0;y0) - внутренняя точка области D, M(x0+Δx;y+Δy) - "соседняя" с M0 точка из D.

Рассмотрим полное приращение функции:

Если Δz представлено в виде:

где A, B - постоянные (не зависящие от Δx, Δy), - расстояние между M и M0, α(Δ x,Δy) - бесконечно малая при Δx 0, Δy 0; тогда функция z =f(х,у) называется дифференцируемой в точке M0, а выражение

называется полным дифференциалом функции z =f(х;у) в точке M0.

Теорема 1.1. Если z =f(х;у) дифференцируема в точке M0, то

Доказательство

Так как в (1.16) Δx, Δy - произвольные бесконечно малые, то можно взять Δy =0, Δx≠0, Δx 0, тогда

после чего из (1.16) следует

Аналогично доказывается, что

и теорема 1.1. доказана.

Замечание: из дифференцируемости z =f(х,у) в точке M0 следует существование частных производных. Обратное утверждение неверно (из существования частных производных в точке M0 не следует дифференцируемость в точке M0).

В итоге, с учётом теоремы 1.1 формула (1.18) примет вид:

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке M0, непрерывна в этой точке (так как из (1.17) следует, что при Δx 0, Δy 0: Δz 0, z(M) z(M0)).

Замечание: Аналогично для случая трех и более переменных. Выражение (1.17) примет вид:

Используя геометрический смысл (рис.1.3) частных производных и можно получить следующее уравнение (1.24) касательной плоскости πкасs к поверхности: z =f(х,у) в точке C0(x0,y0,z0), z0=z(M):

Из сравнения (1.24) и (1.21) получаем геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных:

Приращение аппликаты z при движении точки С по касательной плоскости из точки С0 в точку

где находится из (1.24).

Уравнение нормали Lн к поверхности: z =f(х,у) в точке С0 получается, как уравнение прямой, проходящей через С0 перпендикулярно к касательной плоскости:

№ 19 Производная по направлению. Градиент

Пусть в некоторой области задана функция и точка . Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии от его начала рассмотрим точку , т.е. .

Будем предполагать, что функция и ее частные производные первого порядка непрерывны в области.

Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора и обозначается , т.е. .

Для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора используют формулу: ,

где – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам:
.

Пусть в каждой точке некоторой области задана функция .

Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции и обозначается или (читается «набла у»): .

При этом говорят, что в области определено векторное поле градиентов.

Для нахождения градиента функции в заданной точке используют формулу: .

№22 основные свойства неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл

где F - первообразная функции f (на промежутке); C - произвольная постоянная.

Основные свойства

1.

2.

3. Если то

24)

25)

28)

Этот метод применяется в тех случаях, когда подынтегральное выражение представляет собой произведение или частное разнородных ф-ций. При этом за V’(x) принимается та часть, которая легко интегрируется.

29)

32) Разложение рациональной дроби на простейшие дроби .

Всякую правильную рациональную дробь
можно представить в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей первого – четвертого типов. Для разложения
на простейшие дроби необходимо разложить знаменатель Q m (x) на линейные и квадратные множители, для чего надо решить уравнение:

- (5)

Теорема. Правильную рациональную дробь
, где
, можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:

- (6)

(A 1 , A 2 , …, A k , B 1 , B 2 , …, B 1 , M 1 , N 1 , M 2 , M 2 , …, M s , N s – некоторые действительные числа).

33) Разложение правильной дроби на простейшие дроби при комплексных корнях знаменателя

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл

1 . Введем обозначения:

Сравним степени числителя и знаменателя.

Если подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, т.е. степень числителя n больше или равна степени знаменателя m , то сначала выделяем целую часть рациональной функции, поделив числитель на знаменатель:

Здесь многочлен – остаток от деления на причем степень Pk(x) меньше степени Qm

2 . Разложим правильную рациональную дробь

на элементарные дроби.

Если ее знаменатель имеет простые комплексные корни т.е.

то разложение имеет вид

3 . Для вычисления неопределенных коэффициентов, A1,A2,A3...B1,B1,B3... приводим к общему знаменателю дроби в правой части тождества, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях X в числителях слева и справа. Получим систему 2 S уравнений с 2 S неизвестными, которая имеет единственное решение.

4 Интегрируем элементарные дроби вида

47) Если существует конечный предел I интегральной суммы при λ → 0, и он не зависит от способа выбора точек ξ i, способа разбиения отрезка, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x)по отрезку и обозначается следующим образом:

В этом случае функция f (x) называется интегрируемой на . Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования. Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла

поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы. Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы различны

48) Теорема о существовании определённого интеграла

Разобьем отрезок на части точками x1,x2,x3... так что

Обозначим через deltaX длину i-го кусочка и через максимальную из этих длин.

Выберем на каждом отрезке произвольным образом некоторую точку так что (она называется «средней точкой»), и составим

величину, которая называется интегральной суммой

Найдем теперь предел

Определение. Если существует и он не зависит от

а) способа разбиения отрезка на части и от

б) способа выбора средней точки,

есть определенный интеграл от функции f(x) по отрезку .

Функция f(x) называется в этом случае интегрируемой на отрезке . Величины a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.

50) Основные св-ва определённого интегрирала

1)Если промежуток интегрирования разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке , равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

2)теорема о среднем значении.

Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке ,m=min f(x) и M=max f(x) , тогда существует такое число

Следствие.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке , то найдется такое число, что.

3)При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

4)Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

5)Интегрирование модуля функции

Если функция f(x) интегрируема,то и её модуль интегрируем на отрезке.

6)Интегрирование неравенства

Если f(x) и q(x) интегрируемы на отрезке и х принадлежит

то

7)Линейность

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

если f(x) существует и интегрируема на отрезке , A=const

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке и F(x) – какая-либо ее первообразная на (F’(x)=f(x)), то имеет место формула

Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка x=α(t).

1) Функция x=α(t) и ее производная x’=α’(t) непрерывны при t принадлежащей

2) Множеством значений функции x=α(t) при t принадлежащей является отрезок

3) A α(c)=a и α(v)=b

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если существует предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают .

Таким образом, по определению,

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

и её дифференцирование.

Одним из наиболее простых способов задания пространственной кривой является задание векторного уравнения:

где - радиус-вектор точки кривой, а- параметр, определяющий положение точки.

Т.о. переменный вектор есть функция скаляра. Такие функции в математическом анализе называют векторными функциями скалярного аргумента.

Разлагая по ортам, уравнению (1) можно придать вид:

Это разложение даёт возможность перейти к параметрическому уравнению кривой:

Другими словами, задание векторной функции равносильно заданию трёх скалярных.

По отношению к векторной функции (1), определяющему данную кривую, сама кривая называется годографом этой функции. Начало координат называют в этом случае полюсом годографа.

Пусть теперь
и
- точки кривой, определяемой уравнением (1). Причём
, а
Радиус-векторы этих точек будут

и
.

Вектор
называют приращением векторной функции
, соответствующее приращению
её аргумента, и обозначают через
,

Векторная функция
будет непрерывной функцией, если

.

Для нахождения производной от
поступим следующим образом –

.

Установим теперь направление
. Очевидно, чтоколлинеарен с
и при
направлен в ту же сторону, что и
а при
- в противоположную сторону. Но в первом случае
а во втором
Т.о. векторвсегда направлен по секущей годографа
в сторону возрастания.

Если воспользоваться разложением ипо ортам, то

Отсюда деля (*) на
и переходя к пределу
для
получим

Опираясь на (4), можно показать, что справедливы следующие формулы:

(5)

(6)

- скалярная функция.

Доказательство (7).

Исследуем теперь некоторые свойства
. Прежде всего найдём его модуль:

.

Т.к. мы считаем дугу годографа спрямляемой, то тогда
- есть длина хорды, а
- длина дуги. Поэтому

Т.о. модуль производной от векторной функции скалярного аргумента равен производной от дуги годографа по тому же аргументу.

Следствие 1. Если - единичный вектор, направленный по касательной к годографу в сторону увеличения, то

Следствие 2. Если за аргумент векторной функции принята длина дуги годографа , то

(т.к.
)

Т.о. производная от векторной функции по длине дуги годографа равна единичному вектору касательной к годографу, направленному в сторону увеличения длины дуги.

Следствие 3. Если годограф векторной функции рассматривать как траекторию движения точки, а - как время движения, отсчитываемое от некоторого, то
по величине и направлению совпадает с вектором скорости движения
.

В самом деле, скалярная величина скорости равна производной от пути по времени:

Кроме того, вектор направлен по касательной к траектории в сторону движения, что соответствует направлению возрастания, т.е. соответствует направлению.

Т.о.
.

Рассмотрим теперь
, длина которого постоянна,
, т.е.

(*)
где

Дифференцируя (*), найдём:

Т.е.

В частности, производный вектор от любого переменного по направлению единичного всегда
.

Пусть теперь
угол между радиусами единичной сферы, проведёнными в точки
и
годографа
. Тогда длина хорды
из треугольника
будет равна

Модуль производной от единичного переменного вектора равен угловой скорости вращения этого вектора.

Как и для скалярных функций, дифференциал векторной функции записывается в виде

Но и тогда

Кривизна пространственной кривой.

Сопровождающий трёхгранник.

Согласно следствию 2, для можно записать формулу:

Изменение направления , связанное с изменением касательной к пространственной кривой, характеризует кривизну кривой. За меру кривизны пространственной кривой, как и для плоской, принимают предел отношения угла смежности к длине дуги, когда

кривизна,
угол смежности,
длина дуги.

С другой стороны,
единичный вектор и производный к нему векторперпендикулярен к нему, а его модуль
Дифференцируяпои вводя
единичный вектор с направлением, найдём:

Вектор
вектор кривизны пространственной кривой. Его направление, перпендикулярное к направлению касательной, является направлением нормали пространственной кривой. Но пространственная кривая имеет в любой точке бесчисленное множество нормалей, которые все лежат в плоскости, проходящей через данную точку кривой и перпендикулярно к касательной в данной точке. Эту плоскость называют нормальной плоскостью пространственной кривой.

Определение. Нормаль кривой, по которой направлен вектор кривизны кривой в данной точке – главная нормаль пространственной кривой. Т.о.
единичный вектор главной нормали.

Построим теперь третий единичный вектор равный векторному произведениюи

Вектор , как итакже перпендикулярент.е. лежит в нормальной плоскости. Его направление называют направлением бинормали пространственной кривой в данной точке. Вектора
исоставляют тройку взаимно перпендикулярных единичных векторов, направление которых зависит от положения точки на пространственной кривой и изменяется от точки к точке. Эти вектора образуют т.н. сопровождающий трехгранник (трехгранник Френе) пространственной кривой. Вектора
иобразуют правую тройку, так же как и единичные орты
в правой системе координат.

Взятые попарно
определяют три плоскости, проходящие через одну и ту же точку на кривой и образуют грани сопровождающего трехгранника. При этомиопределяют соприкасающую плоскость (б.м. дуга кривой в окрестности данной точки есть дуга плоской кривой в соприкасаемой плоскости с точностью до б.м. высшего порядка);

и- спрямляющая плоскость;

и- нормальная плоскость.

Уравнения касательной, нормали и бинормали.

Уравнения плоскостей сопровождающего трехгранника.

Зная
и, или любые коллинеарные им неединичные вектораT, N и B выведем уравнения, поименованные в этом параграфе.

Для этого в каноническом уравнении прямой

и в уравнении плоскости, проходящей через данную точку

принять за
координаты выбранной на кривой точки, за
или соответственно за
принять координаты того из векторов
или
, который определяет направление искомой прямой или нормали к искомой плоскости:

или- для касательной или нормальной плоскости,

или- для главной нормали и спрямляющей плоскости,

или- для бинормали и соприкасающейся плоскости.

Если кривая задана векторным уравнением
или
то за вектор
направленный по касательной можно принять

Для нахождения
инайдём сначала разложение
по векторам
Ранее (следствие 1) мы нашли, что
Дифференцируя по, получим:

Но, т.к.

Перемножим теперь векторно и

(*)

На основании (*) за вектор , имеющий направление бинормали, можнл взять вектор

Но тогда, за
можно принять векторное произведение этих последних:

Т.о. в любой точке произвольной кривой мы можем определить все элементы сопроводдающего трехгранника.

Пример. Уравнение касательной, нормали и бинормали к правой винтовой линии в любой точке.

Касательная

Главнвя нормаль

Бинормаль

Скачать с Depositfiles

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

I . ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

Вектор-функция (определение 1.1), способы её задания.

Радиус-вектор и годограф, параметрическое задание годографа.

Производная вектор-функции (определение 1.6).

Геометрический смысл производной вектор-функции.

Правила дифференцирования вектор-функций.

1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Определение 1.1 Если каждому значению скалярного аргумента поставлен в соответствие вектор
трехмерного пространства R 3 , то говорят, что на множестве Х задана вектор-функция (или векторная функция) скалярного аргумента t .

Если в пространстве R 3 задана декартова система координат О xyz , то задание вектор — функции
,
равносильно заданию трех скалярных функций х( t ), y ( t ), z ( t ) – координат вектора :

= { x ( t ), y ( t ), z ( t )} (1.1)

или , (1.2)

где
— координатные орты.

1.2. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЛИНИЯ, КАК ГОДОГРАФ РАДИУСА-ВЕКТОРА

Определение 1.2 Если начало всех векторов , помещено в начало координат, то они называются радиус–векторами.

Определение 1.3 Линия, являющаяся геометрическим местом концов радиусов-векторов , , называется годографом вектор-функции , а их общее начало – полюсом годографа.

Если параметр t – время, а — радиус-вектор движущейся точки, то годограф функции является траекторией движущейся точки.

Уравнение годографа можно записать в векторной форме (1.2) или в параметрическом виде:

(1.3)

В частности, если вектор-функция с изменением аргумента меняет только свой модуль, а направление не изменяет (), то годографом такой вектор- функции будет прямолинейный луч, исходящий из начала координат; если же меняется только направление вектора, а модуль его остается неизменным (
), то годографом вектор-функции будет кривая, расположенная на сфере с центром в полюсе и радиусом, равным постоянному модулю вектора.

Рисунок 1.

1.3. ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОР–ФУНКЦИИ

Определение 1. 4 Вектор называется пределом вектор-функции при
, если

. (1.4)

Определение 1.5 Вектор-функция называется непрерывной в точке t 0, если она имеет в этой точке предел, равный значению вектор-функции в этой точке:

. (1.5)

Определение 1.6 Производной вектор-функции в точке t называется предел отношения приращения вектор-функции к приращению аргумента
при
:

(1.6)

1.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Геометрический смысл первой производной вектор-функции скалярного аргумента заключается в том, что эта производная представляет собой новый вектор, направленный по касательной к годографу:
. Покажем это.

Рисунок 2

Будем предполагать, что годограф рассматриваемой вектор-функции есть непрерывная линия, имеющая касательную в любой своей точке.

Дадим аргументу t приращение , тогда геометрически отношение
— это некоторый вектор
, лежащий на секущей ММ’. При этот вектор поворачивается и превращается в вектор
, лежащий на касательной и направленный в сторону возрастания t . Таким образом, вектор

(1.7)

будет единичным вектором касательной, ориентированный в сторону возрастания параметра t .

Следовательно, вектор
можно взять в качестве направляющего вектора касательной к кривой в точке ), (или
), и уравнение касательной записать в виде:

(1.8)

Если t – время, а — радиус-вектор точки
, движущейся в трёхмерном пространстве, то о тношение называется средней скоростью точки на отрезке [ t ; t +t ].

Механический смысл первой производной вектор-функции заключается в том, что эта производная представляет собой скорость точки М в момент t :

Правила дифференцирования вектор-функций

Докажем правило 1, пользуясь правилами вычитания векторов и деления вектора на число:

Доказательство остальных правил основываются на правиле 1 и правилах действий с векторами.

Пример 1.1 : Дана вектор-функция . Построить её годограф и составить уравнение ее касательной в произвольной точке.

Решение. Для любой точки ( x , y , z ) годографа вектор – функции имеем: x = acost ; y = asint ; z = bt и поэтому при любом
выполняется равенство x 2 + y 2 = a 2 , а образующая параллельна оси Oz . Если параметр t интерпретировать как время, то при равномерном движении по окружности проекции конца радиус–вектора на плоскость Oxy его проекция на ось Oz будет двигаться равномерно и прямолинейно со скоростью b . Иначе говоря, аппликата точки годографа вектор-функции растет пропорционально углу поворота ее проекции на плоскость Oxy . Поэтому искомый годограф будет иметь вид, изображенный на рис.3 и он называется винтовой линией. Для нахождения касательных к годографу (винтовой линии) найдем производную вектор–функции.

Решение. Поскольку , то и

Определение 1. Вектор г называется вектор-функцией скалярного аргумента t, если каждому значению скаляра из области допустимых значений соответствует определенное значение вектора г. Будем это записывать так: Если вектор г является функцией скалярного аргумента t то координаты х, у, z вектора г также будут функциями аргумента t: Вектор-функция скалярного аргумента. Годограф. Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента Обратно, если координаты вектора г являются функциями t% то функцией t будет и сам вектор г: Таким образом, задание вектор-функции r(f) равносильно заданию трех скалярных функций y(t), z(t). Определение 2. Годографом вектор-фун-кции r(t) скалярного аргумента называется геометрическое место точек, которое описывает конец вектора г(*) при изменении скаляра t, когда начало вектора r(f) помешено в фиксированную точку О пространства (рис. I). Годографом ради уса-вектора г = г(*) дви- Рис. 1 жушейся точки будет сама траектория L этой точки. Годографом скорости v = v(J) этой точки будет некоторая другая линия L\ (рис.2). Так, если материальная точка движется по окружности с постоянной скоростью |v| = const, то ее годограф скоростей также представляет собой окружность с центром в точке 0\ и с радиусом равным |v|. Пример 1. Построить годограф вектора г = ti + t\ + t\. Решение. 1. Это построение можно весги по точкам, составляя таблицу: Рис.3 2i Можн поступить и тйк. Обозначив через х, у, z координаты вектора V, будем иметь Нц И ключря из этих уравнений параметр 1У получим уравнения поверхностей у - z = х1, линия пересечения L которых и определит годограф вектора г() (рис.3). D> Задачи для самостоятельного решения. Построить годографы векторов: Пусть вектор-функция г = скалярного аргумента t определена в некоторой окрестности значения to аргумента t, кроме, быть может, амого значения доопределение 1. Постоянный вектор Л называется пределом вектора г(t) при, если для любого е > 0 существует б > 0 такое, что лля всех t ф to, удовлетворяющих условию 11 - выполняется неравенство Как и в обычном анализе, пишут limr(0=A. Рис.4 Геометрически это означает, что вектор) при t -* to стремится к вектору А как по длине, так и по направлению (рис.4). пределение 2. Вектор а(£) называется бесконечно малым при t -» to, если а(£) имеет предел при t -* to и этот предел равен улю: Вектор-функция скалярного аргумента. Годограф. Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента ли, что то же, для любого есуществует 6 > 0 такое, что для всех t Ф to, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство |а(£)| ример 1. Показать, что вектор есть бесконечно алый вектор при t -* 0. Решение. Имеем ткуда видно, что если для всякого е 0 взять 6 = ~, то при -0| будем меть |. Согласно определению это означает, что a(t) есть бесконечно алый вектор при t 0. 1> адачи для самостоятельного решения г. Показать, что предел модуля вектора равен модулю его предела, если последний предел существует. . Доказать, что для того чтобы вектор-функция г(*) имела при to предел А, необходимо и достаточно, чтобы г(можно было представить в виде Вектор-функция скалярного аргумента. Годограф. Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента де a(t) - бесконечно маши при t -* t0 вектор. 14. Вектор-функиия а+ b(*) непрерывна при t = t0. Следует ли отсюда, что векторы a(t) и b(J) также непрерывны при t - to? 15. Доказать, что если a(- непрерывные вектор-функиии, то их скалярное произведение (a(*),b(f)) и векторное произведение |a(f),b(t)] также непрерывны.

Пример 2. Рассмотрим для примера функцию трех переменных f (х , у , z ), имеющую следующую таблицу истинности:

При лексикографическом порядке расположения векторов значений переменных х n они могут быть опущены и функция полностью будет задана своим вектором значений истинности f = (10110110).

Матричный способ

Заключается в том, что множество переменных х n разбивается на две части у m и z n–m таким образом, что все возможные значения истинности вектора  у m откладываются по строкам матрицы, а все возможные значения истинности вектора z n - m ― по столбцам. Значения истинности функции f на каждом наборе   n = ( 1 , ...,  m ,  m+ 1 ,...,  n ) помещаются в клетки, образованные пересечением строки ( 1 , ...,  m ) и столбца ( m+ 1 ,...,  n ).

В рассмотренном выше Примере 2 в случае разбиения переменных (х, у, z ) на подмножества (х ) и (у, z ) матрица принимает вид:

	у, z

Существенной особенностью матричного способа задания является то, что полные наборы переменных х n , соответствующие соседним (как по вертикали, так и по горизонтали) клеткам, различаются по одной координате.

Задание с помощью полного бинарного дерева

Для описания n -местной функции f ( х n ) используется свойство бинарного дерева высоты n , заключающееся в том, что каждой висячей вершине в нем взаимно однозначно соответствует некоторый набор значений вектора х n . Соответственно, этой висячей вершине можно приписать такое же значение истинности, которое имеет на данном наборе функция f . В качестве примера (рис.1.3) приведем задание с помощью бинарного дерева рассмотренной выше трехместной функции f = (10110110).

Первый ряд цифр, приписанных висячим вершинам дерева, обозначает лексикографический номер набора, второй ― сам набор, а третий ― значение функции на нем.

Задание с помощью n - мерного единичного куба В n

Поскольку вершины В n также можно взаимно однозначно отобразить на множество всех наборов х n , то n -местную функцию f (х n ) можно задать, приписывая ее значения истинности соответствующим вершинам куба В n . На рис.1.4 показано задание функции f = (10110110) на кубе В 3 . Значения истинности приписаны вершинам куба.

Определение . Алгеброй логики называют множество булевых констант и переменных вместе с введенными на них логическими связками.

Формульное задание

Функции алгебры логики могут быть заданы в виде аналитических выражений.

Определение. Пусть Х ― алфавит переменных и констант, используемых в алгебре логики, F ― множество обозначений всех элементарных функций и их обобщений при числах переменных, превышающих 2.

Формулой над Х,F (формулой алгебры логики ) назовём все записи вида:

а) х, где х  X ;

б) F 1 , F 1 &F 2 ,F 1 F 2 , F 1 F 2 , F 1  F 2 , F 1 F 2 , F 1 F 2 , F 1 F 2 , где F 1 , F 2 ― формулы над Х, F;

в) h (F 1 , … ,F n ), где n > 2, F 1 ,… , F n ― формулы над Х , F , h ― обозначение обобщенной пороговой функции из F .

Как следует из определения, для двухместных элементарных функций используется инфиксная форма записи, при которой функциональный символ помещают между аргументами, для отрицания и обобщенных функций используют префиксную форму записи, при которой функциональный символ ставят перед списком аргументов.

Пример 3.

1. Выражения х (у z ); (x , y , z  u ) являются формулами алгебры логики, поскольку удовлетворяют данному выше определению.

2. Выражение х  (у  z ) не является формулой алгебры логики, поскольку неправильно применена операция .

Определение. Функцией, реализуемой формулой F , называется функция, получаемая при подстановке значений переменных в F . Обозначим ее f (F ).

Пример 4. Рассмотрим формулу F = ху  (х z ). Для того, чтобы построить таблицу истинности реализуемой функции, необходимо последовательно с учетом силы логических связок выполнить логическое умножение ху , затем импликацию (х z ), после чего сложить полученные значения истинности по модулю 2. Результат выполнения действий показан в таблице:

				х  z

Формульное представление функций позволяет априори оценивать многие свойства функций. Переход от формульного задания к таблице истинности всегда может быть выполнен путем последовательных подстановок значений истинности в элементарные функции, входящие в формулу. Обратный переход неоднозначен, поскольку одна и та же функция может быть представлена различными формулами. Он требует отдельного рассмотрения.